Operaciones del sistema octal

a) Suma:

El algoritmo para sumar en el sistema binario es el mismo que se utiliza en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes reglas básicas:

S1) 0 + 0 = 0
S2) 1 + 0 = 1
S3) 0 + 1 = 1
S4) 1 + 1 = 10 o bien 1 + 1 = 0 llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda.
S5) 1 + 1 + 1 = 11 o bien 1 + 1 + 1 = 1 llevando 1 a la siguiente columna de la izquierda.

Ejemplo: 11011,012+101,11012+1101,1012

	11011,0100
+	101,1101
	1101,1010

Los sumamos de a dos

	11011,0100
+	101,1101
	100001,0001

	100001,0001
+	1101,1010
	101110,1011

El resultado final es 101110,10112

b) Resta:

El algoritmo para restar en el sistema binario, es el mismo que se utiliza para restar en el sistema decimal, haciendo uso de las siguientes Reglas Básicas:

R1) 0 - 0 = 0
R2) 1 - 0 = 1
R3) 1 - 1 = 0
R4) 0 - 1 = 1 tomando prestado 1 de la siguiente columna de la izquierda (ésta disminuye en 1).

Aclaremos esta última regla: Como 1 + 1 = 10 entonces 10 - 1 = 1. La diferencia 0 - 1 requiere tomar 10 (tomar 1 de la siguiente columna de la izquierda) y se obtiene 10 - 1 = 1.
Ejemplo: 1101,1012 - 11,101112

	1101,10100
-	11,10111
	1001,11101

El resultado final es 1001,11101 2

c) Multiplicación:

Como la multiplicación decimal, la binaria se reduce a multiplicar números por dígitos y luego sumar.
Ejemplo: 11,01 (2 dígitos luego del punto) * 101,1 (1 dígito luego del punto)

11,01	(2 dígitos luego del punto)
x    101,1	( 1 dígito luego del punto)
1101
11010
1101000
10001,111	(3 dígitos luego del punto)

El resultado final es 10001,1112 (3 dígitos luego del punto)

d) División:

Como la división decimal, la división binaria se reduce a multiplicar el divisor por un dígito y restar este resultado al dividendo.
Ejemplo: 111,00001 / 1,01

111,00001		1,01
- 101000000		101,101
010000000
- 101zzzzz
00110lllllllll
- 101u uu
0101jjjjjjj
- 101hhh
000jjjjjjjj

Observación: Como en la división decimal, no siempre la división es con resto cero. El resto debe ser menor que el divisor.

Sistema octal

El sistema numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0 a 7.

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número en octal. Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posición de la cifra, y sumar el resultado.

Es más fácil pasar de binario a octal, porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los dígitos binarios, así, el número 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

En informática a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal, y se suele indicar poniendo 0x delante del número octal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Sin embargo, para trabajar con bytes o conjuntos de ellos, asumiendo que un byte es una palabra de 8 bits, suele ser más cómodo el sistema hexadecimal, por cuanto todo byte así definido es completamente representable por dos dígitos hexadecimales.

Division de Binarios

División de números binarios

La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

 100010010 |1101
            ——————
-0000       010101
———————
 10001
 -1101
———————
  01000
 - 0000
 ———————
   10000
  - 1101
  ———————
    00111
   - 0000
   ———————
     01110
    - 1101
    ———————
     00001

Multiplicacion (producto) de binarios

Producto de números binarios

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:

·	0	1
0	0	0
1	0	1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

        10110       
         1001                    
    —————————          
        10110               
       00000                
      00000                
     10110                
    —————————           
     11000110

En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.

                 11101111
                   111011
                __________
                 11101111
                11101111
               00000000
              11101111
             11101111
            11101111
           ______________
           11011100010101

Resta de Binarios

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.
Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

Ejemplos

        10001                           11011001    
       -01010                          -10101011
       ——————                          —————————
        00111                           00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.
Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos:

• Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

        100110011101             1001     1001     1101
       -010101110010            -0101    -0111    -0010
       —————————————      =     —————    —————    —————
        010000101011             0100     0010     1011

• Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.

Ejemplo

La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:

        1011011                                             1011011
       -0101110       el C2 de 0101110 es 1010010          +1010010
       ————————                                            ————————
        0101101                                            10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.
Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

        11011011                                            11011011
       -00010111       el C2 de 00010111 es 11101001       +11101001
       —————————                                           —————————
        11000100                                           111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

• Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda

Suma de Binarios

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Tabla de sumar de números binarios

Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10

Suma de dos números binarios

Sean los números binarios 00102 y 01102

Primer paso

De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0

Segundo paso

Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.

Tercer paso Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.

Cuarto paso

El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.

Numeros Binarios

Sistema binario de números

Un número binario sólo tiene ceros y unos.

Este número es 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1 + 1×(1/2) + 0×(1/4) + 1×(1/8) (=13,625 en decimal)

De la misma manera que en el sistema decimal, se pueden poner números a la izquierda o a la derecha del punto decimal, para indicar valores mayores o menores que uno. En el sistema binario:

	El número justo a la izquierda del punto es un número entero, lo llamamos unidades. Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale 2 veces más.
	La primera cifra a la derecha del punto significa mitades (1/2). Cuando vamos a la derecha, cada posición vale 2 veces menos (la mitad de la anterior).

Dos valores diferentes

Como sólo puedes tener ceros y unos, en binario se cuenta así:

Decimal:	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binario:	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

"El binario es tan fácil como 1, 10, 11."

Aquí tienes más equivalencias:

Decimal:	20	25	30	40	50	100	200	500
Binario:	10100	11001	11110	101000	110010	1100100	11001000	111110100

Definición de binario

	La palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos).
	Cuando leas un número binario, pronuncia cada dígito (por ejemplo, el número binario "101" se lee "uno cero uno"). De esta manera la gente no los confunde con números decimales.

Bits

Un dígito binario por sí solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene cinco bits de longitud.
La palabra bit viene de las palabras inglesas "binary digit"

Cómo indicar que un número está en binario

Para mostrar que un número es binario, ponemos un pequeño 2 detrás: 101₂
De esta manera nadie pensará que es el número decimal "101" (ciento uno).